Penyelesaian Persamaan Diofantus Linear Dengan Anggaran Eksplisit Hasil Tambah Eksponen

Abstract

Katakan x = ( XI, xz, ... , x,, ) suatu vektor dalam ruang Zfi dengan Z menandakan gelanggang integer dan katakan q integer positif dan f suatu polinomial dalam 5 berpekali unsur dalam Z. Hasil tambah eksponen yang 2idfCx) dihubungkan dengan f ditakrifkan sebagai, S(f;q) = z e , dengan x_ mengambil nilai dalam sistem reja terkecil modulo q. Seperti yang telah ditunjukkan sebelum ini, kebanyakan anggaran adalah bersandar kepada suatu nilai malar yang dihubungkan dengan polinomial yang berkaitan secara tersirat. Penyelidikan ini tertumpu kepada mencari anggaran hasil tambah eksponen, SEq) dengan fO polinomial kuadratik dua, tiga dan empat pembolehubah berpekali dalam gelanggang integer p adic, 2,. Pendekatan yang dilakukan ialah dengan meneliti dan menguji set penyelesaian Persamaan Diofantus Linear yang dihubungkan dengan terbitan separa A&). Daripada kajian yang kami lakukan, keputusan yang diperolehi adalah seperti berikut: Pertama, katakan,f(~,~)=a+x ~bx y + cy2 + rx + sy + t. Biarkan, CY suatu integer positif, 0 = 1-3 dan ul = min{ordp (4ac-bZ),6)a tau ul = l+k dengan 1 i min{ord, 2a,ordp b) dan k < minford, b,ordp 2c). Jika N(f(x,y), pe) < put , maka anggaran hasil tambah eksponen bagi f (x, y) ialah, p(f; pa 5 P ~ ( a - ~ ) + u , Biarkan, Kedua, katakan, f(~,~,za),=x2 + a, y2 + a3z2+ bpy + b2yz+ b3xz + c,x + c2y+c3z+d. (2a1b2-blb3)=a117 (b1b2-2a2b3)=a,27 2 (2a3b1 -b2b,)= a,, , (4a2a3 -b2 )=a,. Katakan, u2 I rnin {ordp 2a3, ord, b2, ord, b3), u1= min{ordp (alla22-a12a21),8)a tau ul = I+k dengan I I min{ord, a1 1, ord, azl) dan k 2 min{ord, al2, ord, an). Jika N(f(x,y,z), pe ) i pu1+"2m, aka anggaran h a d t arnbah eksponen bagi f (x, y, z) ialah, - ;pa] 5 p3b-eh+W.Ketiga, Katakan, f(x,y,z,t) = a,x + a2y2 + a3z2 + a4t2 + b,xy + b2xz + b3xt + b4yz + b5yt + b6zt + c,x + c2y + c3z + c4t + e. Biarkan, (2a1b5 - blb3) =CII, ord, b3, ordp b5, ord, b6f7 u2 I min(ord, c13,0rd, C23, ordp ~33) u~ = min{ord~( a,,a2, -a12a2,) , 8) atau ul = l+k, dengan 1 I min{ordp all, ord, a21)d an k I min{ord, al2, ord, an). Jika NV(X,~,Z,~)5, ~p~u) t+u2,+ m'a ka anggaran hasil tarnbah eksponen bagif(x,y,z,t) ialah, IS(f; pa 1 < p4(a-eh+u2+u3